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Geometría Eterna
Vagn Lundsgaard Hansen
Master of Science (mathematics and physics),
University of Aarhus, Denmark, 1966.
Doctor of Philosophy
(mathematics), University of Warwick, England, 1972.
Assistant
professor, University of Aarhus, 1966-69.
Research fellow, University
of Warwick, 1969-72.
Associate professor, University of Copenhagen,
Denmark, 1972-80.
Professor of mathematics at the Technical University
of Denmark since 1980.
Visiting professor at the University of
Maryland, College Park, US, Fall 1986.
Pàgina:
http://www.mat.dtu.dk/people/V.L.Hansen/
Traducción: Víctor Hernández y Martha
Villalba.
PMME-UNISON. Febrero. 2001.
1. Geometría
Euclidiana
2. Secciones cónicas
3. Geometría analítica
4. Geometría No-Euclidiana
5. Propiedades óptimas de los objetos geométricos
6. Formas curvadas
7. De la Geometría a la Topología
8. El gran libro de la Geometría
Las matemáticas se han desarrollado a través de
milenios y tienen su origen en la necesidad de los seres humanos de
especificar cantidades y medir figuras. El énfasis exagerado que
caracteriza a las matemáticas como un medio para describir los problemas
del mundo real descansa en la interacción entre lo concreto y lo
abstracto. Para cualquier profesor de matemáticas es un reto el darse
cuenta de la simbiosis dialéctica entre los lados concreto y abstracto de
la matemática.
En el currículo escolar la manipulación de los números
está dividida en lo concreto: aritmética o cálculos con números, y lo
abstracto: álgebra o cálculos con símbolos. En la enseñanza de la
geometría esta discriminación involucra sutilezas como el distinguir entre
una figura concreta y formas abstractas que con frecuencia permanecen
ocultas.
Brevemente debo referirme a algunos de los principales
desarrollos en la historia de la geometría e indicar los hitos importantes
desde el punto de vista didáctico para la enseñanza de la geometría. Debo
hacer algunas aclaraciones en geometría, las que en mi opinión siempre
tendrán importancia y consecuentemente son relevantes para el currículo en
geometría. Desde hace algún tiempo se ha establecido una fuerte presión en
el sistema educativo, ésta consiste en la dificultad para introducir
nuevos tópicos en el currículo sin quitar otros. Debo argumentar que hay
muchos tópicos clásicos que tienen un lugar justificado e importante en el
currículo. Espero, si embargo, mostrar también cómo enriquecer el estudio
de los tópicos tradicionales, señalando algunos aspectos novedosos.
No
hay duda de que las gráficas computarizadas pueden mejorar la enseñanza y
el entendimiento de la mayoría de los tópicos geométricos; no se requiere
introducir nuevos tópicos para hacer uso de estas nuevas herramientas. En
mi opinión, los viejos tópicos vistos desde un ángulo contemporáneo pueden
ser tan frescos y estimulantes para los alumnos, como los nuevos. ¡Y son
muchos! En muchos países hay una tendencia a tomar a la ligera este hecho,
posiblemente porque la enseñanza de la ciencia ha sido más bien
descriptiva y no explicativa, es decir, no matemática.
índex
1.
Geometría Euclidiana
Geometría se deriva de la
palabra griega geometría (eletqia), que significa medida de la tierra. La
palabra fue usada por el historiador griego Herodoto en el siglo V a.C. en
su gran épica sobre las guerras persas en donde escribe que en el antiguo
Egipto fue usada "geometría" para encontrar la distribución adecuada de la
tierra después de los desbordamientos anuales del Nilo.
La geometría
como un marco de trabajo para la descripción y medida de las figuras fue
desarrollada empíricamente en muchas culturas hace varios miles de años.
La geometría como una ciencia que compila una colección de proposiciones
abstractas acerca de formas ideales y pruebas de estas proposiciones, fue
fundada alrededor de los 600 años a.C. en la cultura Griega por Thales,
quién de acuerdo a la leyenda propuso varios teoremas en geometría. En el
siglo VI a.C., la famosa escuela de los pitagóricos también debe ser
mencionada con relación a esto. Desde aquel período temprano debemos, sin
embargo, señalar en particular a Eudoxio (alrededor del 391- 338 a.C.),
quien es conocido por una teoría de las proporciones y el llamado método
de exhaustión, aportaciones que hicieron posible determinar áreas y
volúmenes rigurosamente.
En primer lugar la geometría clásica Griega
ha sobrevivido a través de los famosos trece libros escritos por Euclides
alrededor de 300 a.C. conocidos como los Elementos de Euclides. En estos
libros el conocimiento matemático, en particular el geométrico, es
resumido por los griegos en el tiempo de Euclides y fue sistematizado de
tal manera que su exposición, desde entonces, puso un sello a los escritos
matemáticos.
La enseñanza de la geometría Euclidiana es importante
desde los primeros grados del sistema educativo. Los niños debieran ser
estimulados a estudiar figuras geométricas simples y explorar sus
propiedades. En los primeros grados, la geometría Euclidiana, debiera ser
principalmente informal y explicativa, dejando su sistematización para
grados posteriores. Más aún, por supuesto, incluso en los grados
posteriores, el estilo de enseñanza no debiera estar restringido al estilo
sugerido por Euclides en los Elementos. En muchos países han desaparecido
del programa las construcciones con regla y compás, no obstante ser una
manera muy buena de aprender a analizar una situación como el primer paso
en un proceso matemático. En el pasado se ha puesto en claro que ésta es
una buena manera de crear interés por las matemáticas entre los niños
dotados. Hacer una construcción elaborada es tanto creativo como
inventivo. Si se quieren producir pequeños programas en la computadora
para dibujar figuras geométricas se requiere saber cómo construirlas. De
hecho, lo más importante de estas construcciones pudiera nuevamente
resultar central el uso de la computadora como una herramienta para la
enseñanza de la geometría elemental.
Nociones tales como semejanza,
congruencia y simetría son fundamentales para una gran cantidad de
argumentos y aplicaciones matemáticas y debieran ser estudiados con cierto
detalle. En niveles avanzados de estudio, tales nociones pertenecen a la
geometría transformacional.
No creo que a los niños se les deba
enseñar las formalidades de los postulados de Euclides, y en todo caso no
a tan temprana edad, pero sus profesores debieran conocerlos y enseñarlos
con una perspectiva propia.
Los lados concreto y abstracto de la
geometría no debieran ser formalizados y teorizados pero debieran ser
experimentados durante la enseñanza y debieran ser desarrollados
gradualmente en los alumnos y estudiantes. Al final, debiera emerger la
diferencia entre una figura concreta y una forma abstracta. Las pruebas
son útiles cuando actúan como explicaciones o revelan hechos sorprendentes
que no pueden ser establecidos sólo por la "experimentación". En mi
opinión uno siempre debiera buscar pruebas que actuaran como
explicaciones, pero me he percatado de que algunas veces esto puede ser
difícil. También me he tomado cabal conciencia de que lo que es un hecho
sorprendente para un niño puedo no serlo para otro. Pero aún así, pienso
que hay algunos hechos que son sorprendentes casi para cualquiera.
índex
2.
Secciones cónicas
Se llegó a la segunda cumbre
en la geometría clásica Griega alrededor de los 200 a. C. con el trabajo
sobre las secciones cónicas de Apolonio (262-190 a.C.). Desde un interés
puramente matemático, las secciones cónicas han evolucionado hasta su
utilidad en muchos y variados contextos. Es, por supuesto, de principal
importancia el que se incluyeran en las descripciones del movimiento
planetario de Kepler al inicio del siglo XVII; y más tarde por Newton al
final del siglo XVII cuando, en uno de los mayores adelantos en la
ciencia, el dedujo de su ley de gravitación que la forma de la órbita de
los planetas era una elipse. Las aplicaciones de las cónicas son
abundantes. Por ejemplo, las propiedades de reflexión de la elipse son
aprovechadas en la destrucción de los cálculos renales y también las de la
parábola en las antenas parabólicas. Para realizar ciertos movimientos
mecánicos en de los robots, se necesitan engranes elípticos. La hipérbola
es aprovechada en navegación (navegación hiperbólica, sistemas Navegadores
Decca). Sin apenas darnos cuenta, de muchas maneras las secciones cónicas
son parte de nuestra vida diaria.
El tamaño de una elipse particular
es atribuido a la figura concreta. La forma abstracta en lo que uno debe
pensar como el "alma" de la figura, para la elipse está caracterizada por
la excentricidad, que es lo que mide qué tan aplanada está.
Platón
(427.348 a.C.) asumió como realidad la suposición de que tales formas
tenían una vida independiente en el mundo de las ideas. Sin embargo, el
gran filósofo natural Aristóteles (384-322 a.C.), quien fue el más
importante sucesor y alumno de Platón, distinguió entre el mundo real y el
mundo de las ideas. Esto es, entre otras cosas, debido la discriminación
entre lo concreto y lo abstracto que los matemáticas de todos los tiempos
posteriores se han sentido en gran deuda con los Griegos.
En mi
opinión, la enseñanza de las secciones cónicas debiera enfatizar la
geometría de estos objetos como secciones planas en superficies cónicas, o
- para la elipse - en cilindros; cfr. [4]. Al principio esta aproximación
puede parecer muy difícil pero hay muchas ventajas valiosas. En particular
esto ayuda a desarrollar el entendimiento espacial. Las gráficas de
computadora pueden resultar útiles para familiarizar a los alumnos con las
secciones cónicas, pero es más importante que nunca el mostrar también
modelos reales de las formas geométricas que se puedan tocar y sentir.
índex
3. Geometría analítica
Como es bien
sabido, las secciones cónicas pueden ser descritas por ecuaciones
algebraicas de segundo grado en dos variables. El obtener esta
algebrización de las secciones cónicas fue, de hecho, el logro principal
de René Descartes (1596-1650) lo que le permitió liberar su estudio de los
argumentos geométricos de Euclides y Apolonio, a los cuales el criticaba
por la ausencia de un método general. El logró su meta mediante la
introducción de sistemas de coordenadas y la creación de la geometría
analítica (geometría de coordenadas), para la cual el puso los cimientos
en el libro La Géometrie publicado en 1637. Independientemente, Pierre de
Fermat (1601-1665) también desarrolló una geometría de coordenadas. No
obstante que los descubrimientos de Fermat datan de 1629, estos fueron
publicados hasta 1679. Fermat, en contraste con Descartes, pensaba en la
geometría analítica sólo como una extensión de las ideas de Euclides y
Apolonio.
os métodos, desarrollados por Euclides, Apolonio y sus
sucesores anteriores al desarrollo de la geometría analítica, para tratar
las cuestiones geométricas son conocidos ahora bajo el nombre de geometría
sintética.
Los métodos de la geometría analítica son, por supuesto, de
importancia fundamental y en la mayoría de los países pertenecen al
currículo de el nivel medio. Desafortunadamente, pienso que su enfoque
sobre las descripciones algebraicas de por ejemplo las secciones cónicas,
ha hecho que su tratamiento sea artificial y remoto de las aplicaciones,
llevándolas a un estado cercano a la desaparición del currículo. En mi
opinión esto es un asombroso error.
El estudio de las formas
geométricas descritas por ecuaciones algebraicas en completa generalidad
es un área activa de investigación conocida como geometría algebraica. En
el siglo pasado la geometría algebraica se ha desarrollado enormemente.
Aún cuando la geometría algebraica tiene un alto nivel de abstracción, es
también una base para profundas y útiles aplicaciones. Como un ejemplo,
los métodos de la geometría algebraica están siendo usados para la
construcción de códigos indescifrables y para la construcción de códigos
que pueden auto corregir sus errores. En relación con la transmisión
electrónica de datos, tales códigos tienen ya una importancia
indiscutible.
índex
4.
Geometría No-Euclidiana
En los Elementos de
Euclides hay un postulado que provocó la curiosidad de los matemáticos,
llamado el postulado de las paralelas: "En el plano, dada una línea y un
punto fuera de esta línea, existe exactamente una línea que pasa por ese
punto que no intersecta a la línea dada." (Esta formulación es debida a
Playfair en 1795 y es la más conocida de muchas formulaciones
equivalentes.) Alrededor de 1830 explotó la bomba, cuando el matemático
Ruso Nicolai Ivanovich Lobachevsky (1793-1856) en 1829 y el matemático
Húngaro János Bolyai (1802-1860) en 1832 publicaron independientemente que
ellos habían podido construir geometría que satisficieron todos los
postulados de la geometría Euclidiana excepto por el postulado de las
paralelas. Por lo que este postulado se ganó el estatus de un axioma que
caracteriza a la geometría Euclidiana.[1]
De hecho, el gran matemático
Alemán Carl Friedrich Gauss (1777-1855) obtuvo resultados similar en 1816
pero mantuvo sus hallazgos en privado temiendo ser ridiculizado pues éstos
se desviaban fuertemente del pensamiento filosófico de aquellos tiempos.
En una memoria de 1887, el matemático Francés Henri Poincaré
(1854-1912) describió un modelo concreto de una geometría No-Euclidiana en
dos dimensiones, el plano hiperbólico; este modelo es conocido ahora como
el disco de Poincaré. Los puntos en el modelo de Poincaré del plano
hiperbólico son los puntos dentro de un círculo, y las líneas son aquellos
arcos circulares que se intersecan ortogonalmente con la frontera del
círculo. Se puede dotar al plano hiperbólico con una medida de longitud,
de tal manera que ciertas distancias que resultan constantes en geometría
Euclidiana resultan infinitas cuando nos aproximamos a la frontera del
círculo y son medidas por la distancia hiperbólica. Los ángulos son
medidos por sus valores como ángulos Euclidianos.
El nacimiento de las
geometría No-Euclidianas levantó la pregunta sobre cuál de las geometrías
describe de la mejor manera posible el mundo físico. Debido a esto se
inició uno de los períodos dorados en la interacción entre las matemáticas
y la física, misma que en los inicios del siglo pasado guió hacia el
desarrollo de la teoría de relatividad de Einstein, cfr. [5].
Es
posible presentar la construcción del plano hiperbólico en el nivel de el
nivel medio, cfr. [8]. La presentación contiene muchos de las valiosas
construcciones de la geometría Euclidiana clásica tomando como punto de
partida la construcción de inversiones sobre un círculo. Este es un
episodio muy importante de la historia de la geometría y proporciona una
buena oportunidad para repensar el rol de los postulados de la geometría
Euclidiana pues contiene los dramas y sorpresas que pudieran esperarse en
la presentación de una pieza de matemáticas. Seguramente al menos todos
los profesores de matemáticas debieran saber sobre esto.
Es fácil
emprender y estudiar los mosaicos del plano hiperbólico y probar que puede
ser cubierto con n-ágonos regulares idénticos para todo entero. Este es un
hecho sorprendente, en claro y agudo contraste con la geometría
Euclidiana, donde sólo se puede cubrir el plano Euclidiano con n-ágonos
regulares idénticos para n = 3, 4, 6.
índex
5.
Propiedades óptimas de los objetos geométricos
El estudio de las propiedades óptimas de los
objetos geométricos es un área importante que pienso podría adicionar
nuevas dimensiones a la enseñanza de la geometría, empezando posiblemente
en el nivel de educación media, aunque ciertos aspectos pueden ser
tratados desde el nivel escolar primario.
Como ejemplo, puedo
mencionar los problemas isoperimétricos, cfr. [2], [4], [6], [7]. En su
forma más simple el problema puede ser establecido como sigue: Encuentre
la curva plana cerrada (sin auto intersecciones) con una longitud fija que
encierre la máxima área plana.
Los antiguos Griegos dieron por
descontado que la solución del problema fue lo que ellos refirieron como
la más perfecta de todas las curvas, nombrada círculo. El matemático Suizo
Jacob Steiner (1796-1863) dio varios dio varios ingeniosos argumentos para
mostrar que la solución es el círculo, aunque con el defecto de que el dio
por hecho la existencia de la solución. En [6], he presentado uno de los
argumentos de Steiner que encuentro particularmente bueno.
Sin embargo
el problema fue clarificado por primera vez de manera completa en las
clases en la Universidad de Berlín en los 1870 por Karl Weirstrass
(185-1897) quien señaló que el problema difícil fue de hecho probar la
mera existencia de una solución y desarrollar métodos para superarlo.
El problema general puede ser demasiado difícil de tratar. Pero el
problema correspondiente a cuadriláteros, donde el cuadrado óptimo es el
cuadrado, es sumamente sencillo, cfr. [7]. El problema para los
triángulos, donde el triángulo óptimo es el triángulo equilátero, es un
poco más difícil pero puede ser abordado en el nivel escolar secundario;
cfr. [4]. En relación con la discusión de los triángulos podría también
ser natural en este contexto probar el teorema de Heron semejante aunque
más profundo que expresa el área de un triángulo mediante las longitudes
de sus lados.
Las consideraciones de optimización permiten la entrada
a casi todos los problemas de diseño físico y tecnológico. Los diseños
óptimos de estructuras (vigas, hojas, etc.) que utilizan las propiedades
básicas de los materiales en la forma más eficiente constituyen una
importante área de investigación en la tecnología moderna, aunque las
preguntas de optimización surgen raramente en los grados iniciales como
preguntas matemáticas.
índex
6.
Formas curvadas
¿Qué
está plano y qué está curvo? Si usted ve a través de sus lentes
matemáticos, fácilmente puede ser desconcertado. Las escaleras en espiral
que se encuentran en las torres (la Torre Redonda en Copenhagen tiene una
que es magnífica) son obviamente superficies curvadas. Pero sin embargo,
una escalera en espiral puede ser cubierta con tablas rectas radiantes de
un eje central, como en las escaleras de caracol, donde imaginamos que los
escalones han sido suavizados. Una superficie que puede ser barrida de
esta manera por un segmento de línea moviéndose en el espacio
tridimensional, en matemáticas es llamada una superficie reglada. Las
superficies regladas tienen muchas ventajas desde el punto de vista de la
construcción y por ello son usadas entre otras lugares en la construcción
de barcos (para el diseño del casco) y edificios. El tipo especial de
superficie reglada que se encuentra en las escaleras de caracol es llamado
en matemáticas una helicoidal.
Las helicoidales tiene otra propiedad
interesante: a pequeña escala pueden ser producidas como películas de
jabón. Una superficie en el espacio que en pequeñas piezas sigue la forma
de una película de jabón es llamada una superficie minimal. El nombre es
debido al hecho de que superficies minimales localmente minimizan el área.
Estas ocurren con frecuencia en la naturaleza, por ejemplo en las celdas
membranosas y pueden ser producidas no sólo como películas de jabón sino
también más permanentemente como fascinantes membranas de pegamento. Las
helicoidales son las únicas superficies en el espacio tridimensional que
son al mismo tiempo minimales y regladas.
El estudio de las
superficies minimales tiene sus raíces en Euler (1707-1783), Lagrange
(1736-1813), Meusnier (1754-1793) y otros y, constituye un área de
investigación en matemáticas activa actualmente. Alrededor de 1985 fue
encontrada una nueva superficie minimal en el espacio tridimensional, la
que ha generado considerable interés. Las gráficas computarizadas jugaron
un papel un rol significativo en las primeras investigaciones de esta
superficie y juegan un rol importante en los estudios subsiguientes de las
superficies minimales.
Las superficies minimales satisfacen la
desinteresada demanda de eficiencia de la naturaleza y esto las hace extra
fuertes y estables. Ya que también son estéticamente agradables, captan el
interés de los arquitectos e ingenieros, como es manifiesto en los
trabajos del famoso arquitecto Alemán Frei Otto.
Ciertamente que ya en
el nivel de primaria es posible introducir objetos que en realidad son
superficies minimales. En el nivel secundario es posible avanzar e
introducir la curvatura de las superficies después de haber introducido la
curvatura de las curvas planas enfatizando los círculos de curvatura que
la aproximan; cfr. [5]. Esto es probablemente para una minoría, pero ellos
también necesitan retos. Es la curvatura lo que hace la vida interesante.
índex
7. De la Geometría a la Topología
En un artículo de 1679, Leibniz (1646-1716) se
propuso la formulación de algunas propiedades de las formas geométricas,
el uso de símbolos especiales para representarlos y la combinación de
estas propiedades para crear otras. Él llamó a tales estudios analysis
situs, o geometria situs. No queda muy claro lo que quería decir, pero en
1679, en una carta a Huygens explico que no estaba satisfecho con que la
geometría analítica estudiara a las figuras geométricas, ya que esta
involucraba magnitudes. Al principio Leibniz no estimuló ningún desarrollo
nuevo con estas ideas.
En 1735, Euler publicó un artículo con el
título Solución de un problema de geometría situs para resolver el
problema acerca de los puentes de Könisberg. Más que una mera contribución
al analysis situs, se cuenta hoy día como uno de los primeros resultados
propios de la teoria de gráficas. Entonces, en 1750, Euler publicó una
prueba del teorema conocido ahora como Teorema de los poliedros de Euler.
Este teorema es considerado generalmente como el primer resultado propio
en analysis situs; este involucra solamente la estructura combinatoria de
la superficie de un poliedro convexo y no sus magnitudes.
El nombre
analysis situs fue usado comúnmente para los estudios geométricos que no
involucraban magnitudes directamente hasta la mitad del siglo antepasado
en que Listing, un estudiante de Gauss, ya en 1836 (en una carta escrita
en Catania) había propuesto llamarle topología. El nombre topología ahora
es asociado generalmente a los estudios de las propiedades cualitativas de
los objetos geométricos.
La topología se ha desarrollado hasta llegar
a ser una disciplina matemática importante en el siglo pasado y por ello
es relevante presentar elementos de ella en el nivel medio. Es bastante
fácil presentar tanto el problema de los puentes de Könisberg como el
Teorema de Euler sobre los poliedros.
A partir del siglo pasado,
pienso que es posible presentar la noción de los grados de correlación de
los mapas de un círculo en sí mismo. Esto fue introducido en 1910 por
Brower (1881-1967) y tiene aplicaciones a la teoría de punto fijo, campos
vectoriales sobre esferas y el teorema antípoda de Borsuk; cfr. [3].
También es posible presentar elementos de la teoría de nudos y de
sistemas dinámicos discretos. En este último caso existen extensas
posibilidades para estudios computarizados. Tales materias novedosas no
debieran ser vistas como alternativas a la geometría Euclidiana clásica en
dos y tres dimensiones, pero - si el tiempo lo permite - pueden ser
insertadas en el currículum de geometría. Sobre todo los desarrollos
modernos que de manera natural, desde el punto de vista didáctico, me
gustan, pueden ser ligados a tópicos más clásicos para mostrar los valores
eternos de nuestra materia.
índex
8.
El gran libro de la Geometría
En la naturaleza viviente, alrededor nuestro, el libro de la
geometría descansa abierto justo ante nuestros ojos. Basta pensar en los
encantadores patrones en las alas de una mariposa, las fascinantes
simetrías en las plantas y las fantásticas construcciones de las conchas
que se encuentran entre los caracoles y los mejillones.
Como un
ejemplo, la curva de la concha de un caracol es una espiral logarítmica.
Una espiral logarítmica especialmente perfecta en la naturaleza puede
encontrarse en la concha de una de una jibia primitiva llamada Nautilus.
En el caracol, la espiral logarítmica es una expresión pacífica de
crecimiento exponencial. En el nivel del nivel medio son estudiados varios
tipos de crecimiento en conexión con otras cosas, y llevar esto también al
contexto geométrico subraya la universalidad de las matemáticas.
La
forma de una espiral logarítmica es conservada por un escalamiento
arbitrario hacia arriba o hacia abajo. A causa del alto grado de auto
similitud, la espiral logarítmica es encontrada frecuentemente en las
imágenes de fractales. Es también la auto similitud la que hace posible
que uno pueda enrollar la espiral logarítmica en una salchicha con un
grosor de crecimiento exponencial de tal forma que la salchicha pueda ser
penetrada en un sólido con la parte externa de una vuelta encajando
exactamente contra el interior de la siguiente. La superficie de esta
salchicha es exactamente la concha de un Nautilus, cfr. [5]. Si uno
entiende la construcción puede producir una que se parezca mucho a un
Nautilus en la computadora. Pero nada puede ser un sustituto del mundo
real - cualquiera que esto sea - ni incluso una
computadora.
Estudio computarizado de un Nautilus por Steen Schyum Markovsen
Universidad Técnica de
Dinamarca
Las matemáticas tienen una residencia permanente en las
formas que se muestran en las abundantes maravillas de la naturaleza. Si
se ve a la estructura matemática subyacente, se tendrá acceso a los
métodos poderosos y universales en matemáticas los cuales están ligados
por la visión general proporcionada por la abstracción. Por ello la fuerza
de las matemáticas se encuentran en la interacción entre lo concreto y lo
abstracto.
índex
REFERENCIAS
[1] Courant, R. y Robbins, H.,
What is Mathematics?, Oxford University Press, 1941.
[2] Eggleston, H.
G., The Isoperimetric Problem, Capítulo 7 en: Exploring University
Mathematics 1 (N.J. Hardiman, Ed), Pergamon Press, 1967.
[3] Hansen,
V.L., Fra geometri til topologi, Nordisk Matematisk Tidskrift 36, (2),
48-60, (1988).
[4] Hansen, V.L., Temaer fra Geometrien,
Matematicklærenrforeningen, (English translation available: Shadows of the
Circle, World Scientific, Singapore), 1992.
[5] Hansen, V.L., Geometry
in Nature, A.K. Peters, Ltd., Wellesley, Mass., U.S.A., 1993.
[6]
Hansen, V.L., The Magic World of Geometry - I. The Isoperimetric Problem,
Elemente der Mathematic 49, (2), 61-65, (1994).
[7] Hansen, V.L., I am
the greatest, Mathematics in School 25, (4), 10-11, (1996).
[8]
Hansen, V.L., The dawn of non-Euclidean geometry, Int. J. Math. Educ. Sci.
Technol. 28, (1), 3-23, (1997).
[9] Hildebrandt, S. & Tromba, A.,
Mathematics and Optimal Form, Scientific Amer. Library, W.H. Freeman and
Co, 1985.
10] Kline, M., Mathematical Thought from Ancient to Modern
Times, Oxford University Press, 1972.
[11] Stillwell, J., Mathematics
and Its History, Springer, 1989.
índex
[1] Nótese que aquí hago una distinción
entre postulado y axioma,
lo cual podría no ser común en
todos los países.
Vagn Lundsgaard Hansen
Traducción: Víctor
Hernández y Martha Villalba.
PMME-UNISON. Febrero.
2001. |
