Matemáticas
Activitat 1

A la primera activitat de cátala havíem de fer un sonet satíric amb els versos decasíl·labs. Aquí en teniu un exemple.

Resolución de problemas


PROBLEMA 1
Haz un listado con las coordenadas de todas las ciudades marcadas en el mapa.

Listado de coordenadas:
CIUDAD COORDENADAS
A Coru๑a (-9’5,10)
Almerํa (2,-11)
Barcelona -14,2
Cแceres (-7,-2)
Cuenca (3,-1)
Madrid 0
Mแlaga (-3,-11)
Murcia (5,-8)
Oviedo (-4,10)
Palencia (-1,6)
Pamplona -5,7
Salamanca (-5,2)
Sevilla (-7,-8)
Sta. Cruz de Tenerife (-16,-15)
Toledo (-1,-1)
Valencia (8,-3)
Zaragoza -7,4

 
PROBLEMA 2
Supongamos que dos aviones salen de Barcelona a Sevilla y de Madrid a Málaga respectivamente. Averigua en cada caso la ecuación de la recta que define la trayectoria de cada avión, y el punto de corte en el cual hipotéticamente podría haber un contacto visual entre ambos aviones si se dieran las condiciones.

 

PROBLEMA 3
Un avión sale de Barcelona con destino A Coruña, y justo a mitad de vuelo, el piloto del avión pide coordenadas de vuelo a torre de control. ¿Cuáles son? ¿Cuáles serían si el piloto las hubiera pedido tras haber recorrido 3/5 partes del trayecto?

PROBLEMA 4
Un avión de pasajeros debe realizar un servicio especial de transporte, de manera que, saliendo desde Madrid, debe realizar las siguientes cuatro paradas: Pamplona, Sevilla, Toledo y Cuenca. ¿De cuántas maneras diferentes puede realizar el trayecto y cual es la más óptima?

Tabla de las diferentes combinaciones:

Combinaciones ? Combinaciones ? Combinaciones ? Combinaciones ?
M-P-S-T-C 41’03 M-S-P-T-C 43’84 M-T-P-S-C 42’83 M-C-T-P-S 36’37
M-P-S-C-T 44’02 M-S-P-C-T 42’09 M-T-P-C-S 31’87 M-C-T-S-P 35’59
M-P-T-S-C 40’03 M-S-T-P-C 38’1 M-T-S-P-C 38’09 M-C-S-P-T 44’58
M-P-T-C-S 34’81 M-S-T-C-P 32’1 M-T-S-C-P 31’09 M-C-S-T-P 34’59
M-P-C-S-T 38’28 M-S-C-P-T 41’09 M-T-C-P-S 32’87 M-C-P-T-S 30’63
M-P-C-T-S 30’07 M-S-C-T-P 36’84 M-T-C-S-P 36’83 M-C-P-S-T 39’84

La combinación más óptima es Madrid —>Pamplona—>Cuenca—>Toledo —>Sevilla.

PROBLEMA 5

Un avión en pleno vuelo se encuentra con coordenadas de vuelo las del punto simétrico a Zaragoza respecto de la torre de control, en Madrid. ¿Cuáles son sus coordenadas?
 		 
PROBLEMA 6
Averigua las coordenadas de los vectores con origen y extremo tal y como se indica a continuación:

 		 
PROBLEMA 7

Dos aviones en vuelo Madrid-Murcia y Madrid-Palencia en un determinado instante tienen coordenadas de vuelo (5/2,-4) y (-1/2,3). ¿Cuáles han de ser las coordenadas de vuelo exactas en ese mismo instante de un tercer avión que vuela entre Barcelona y A Coruña para que los tres aviones estén alineados?

Datos
Avión A: De Madrid (0,0) a Murcia (5,-8); con coordenadas (5/2, -4).
Avión B: De Madrid (0,0) a Palencia (-1,6); con coordenadas (-1/2, 3).
Avión C: De Barcelona (14,2) a A Coruña (-9'5,10).

Operaciones
Obtención de la ecuación de la recta Palencia-Murcia:

 

Para que estuvieran alineadas, las coordenadas tendrían que ser (2'22,3'62).

 

PROBLEMA 8

Dos aviones se encuentran volando con direcciones (3,8) y (6,13). ¿Llevan trayectorias paralelas? Justifica tu respuesta tanto gráfica como numéricamente.

Datos

Avión A: (3,8)
Avión B: (6,13)

Operaciones


No son paralelas porque no tiene la misma pendiente.

PROBLEMA 9

Un avión sale de Sevilla con destino Valencia. Al cabo de un rato establece contacto visual con otro avión, y se cruzan sus trayectorias a diferente altura de vuelo, con ángulo de 90º. ¿Cuáles son las coordenadas del vector director del segundo avión? Si se dirige a Madrid, ¿cuál es la ecuación que define su trayectoria?

Datos

Avión A: De Sevilla (-7,-8) a Valencia (8,-3).

Operaciones

Vector director Avión A:

PROBLEMA 10

Suponiendo que entre ciudad y ciudad de las que están marcadas en el mapa simultáneamente sólo pudiera estar volando un avión, ¿Cuántos aviones puede haber volando a la vez en el país? Procede imaginando un caso más sencillo.




Datos

Hay 17 ciudades con aeropuerto en el mapa.

Operaciones

Caso más sencillo:
Queremos saber cuántos aviones pueden volar simultáneamente entre dos de las cuatro capitales catalanas. Desde Barcelona, vemos que 3 aviones (línea roja) pueden volar a la vez, hacia Girona, Lleida y Tarragona respectivamente. Al mismo tiempo, desde Lleida sólo pueden volar 2 aviones (línea fucsia), hacia Tarragona y Girona en este ejemplo, puesto que de Barcelona a Lleida está volando ya un avión. Por último, sólo queda un avión (línea amarilla): el que va de Tarragona a Girona o viceversa.

Por tanto, como tenemos cuatro ciudades, el número de vuelos simultáneos posibles es: 3+2+1=6.

Obtenemos este resultado de la ecuación

En el caso del problema, aplicamos la misma ecuación:

Dado que tenemos 17 ciudades con aeropuerto (n=17) el resultado de la ecuación es:

Pueden estar volando 136 aviones simultáneamente.